Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите корень уравнения log3(4-x) = 4 .

   Решение

---

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. = ). Найдите острые углы треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что четырёхугольник AKDM — прямоугольник.

Решение

Поскольку AD и KM — диаметры указанной окружности, то четырёхугольник AKDM — прямоугольник. Пусть P — проекция вершины A на диаметр KM. Тогда

Отсюда находим, что AL = 2AP. Следовательно, в прямоугольном треугольнике APL угол APL равен 30^o, а т.к. ALP = 2LAM, то LAM = 15^o. Значит,

Ответ

15^o, 75^o.

Источники и прецеденты использования