Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать куда-то и спросить сидящих: "Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?" После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя. Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.)
Решение
|
|
 |
Условие
Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².
Решение
b³ = 3xyz – x³ – y³ – z³ = (x + y + z)(xy + yz + xz – x² – y² – z²) = 2b(xy + yz + xz – x² – y² – z²) (см. задачу 61005 г). Но выражение в скобках неположительно и обращается в ноль только при x = y = z. Поэтому уравнение имеет решение только при b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = – x – y и z² = x² + y². Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = – y или y = 0, z = – x.
Ответ
При b = 0 (0, t, –t), (t, 0, –t); при b ≠ 0 решений нет.
Замечания
При b ≠ 0 система имеет комплексные решения. Из полученного соотношения следует, что 2(x² + y² + z² – (xy + yz + xz)) = – b². Но
x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 4b². Отсюда x² + y² + z² = b², 2(xy + yz + xz) = – 3b². Из третьего уравнения получаем z = 0, откуда
x² + y² = b², 2xy = – 3b². Теперь два комплексных решения легко находятся.
