Задача 66666

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

Решение

Пусть $I$ – центр вписанной окружности, $P$, $Q$ – проекции точек $I$, $C$ соответственно на $AK$ (см. рис.).

Так как $\angle IKC=90^{\circ}$, $\angle ICK=45^{\circ}$, треугольник $IKC$ – равнобедренный, т.е. $IK=KC$. Кроме того, $\angle IKP=\angle KCQ$, поскольку соответствующие стороны этих углов перпендикулярны. Следовательно, треугольники $IKP$ и $KCQ$ равны, т.е. $KP=CQ$. Но $P$ – середина хорды, высекаемой в окружности прямой $AK$, откуда и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1