Задача 66712

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Решение

  $1 + 2$  – не квадрат. Пусть  $n > 1$.

  Первый способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел. Из четвёрок образуем  $(a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)^2$,  из шестёрки –  $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=18^2$.

  Второй способ. Если $n$ чётно, то  $(1 + 2n)(2 + (2n - 1))...(n + (n + 1)) = (2n + 1)^n$  – квадрат.
  Если $n$ нечётно, то  $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n - 1))...((n + 3) + (n + 4)) = 18^2(2n + 7)^{n-3}$  – квадрат.

Ответ

Все   $n > 1$.

Замечания

1. Для  $n = 2, 3$  разбиение единственно, в остальных случаях – нет.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2