Задача 67239

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Наглядная геометрия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Юран А.Ю.

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

Решение

Точки, из которых видны все вершины правильного треугольника $XYZ$, лежат в трех углах, вертикальных к углам треугольника. Если в каждом из этих углов лежат две вершины шестиугольника, то его главные диагонали не могут пересекаться в одной точке. Иначе какие-то две несоседние вершины шестиугольника лежат в одном угле, скажем несоседние вершины $A$ и $B$ лежат в угле, вертикальном с углом $X$. Тогда $\angle AXB\leq 60^{\circ}$, и $X$ лежит на дуге $AB$, лежащей вне шестиугольника.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2