Версия для печати
Убрать все задачи

---

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

   Решение

---

Двое играют на доске 19×94 клеток. Каждый по очереди отмечает квадрат по линиям сетки (любого возможного размера) и закрашивает его. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Дважды закрашивать клетки нельзя. Кто выиграет при правильной игре и как надо играть?

   Решение

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Пятиугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Решение

Пусть для определенности ABC — треугольник наименьшей площади. Обозначим точку пересечения диагоналей AD и EC через F. Тогда  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_ABCF. Так как точка F лежит на отрезке EC и  S_EAB S_CAB, то  S_EAB S_FAB. Аналогично  S_DCB S_FCB. Поэтому  S_ABCF = S_FAB + S_FCB S_EAB + S_DCB. Следовательно,  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_EAB + S_DCB; это даже более сильное неравенство, чем требовалось.

Замечания

Источники и прецеденты использования