Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Перегруппировка площадей ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

Решение

Заметим, что точка лежит M на меньшей дуге BC (иначе OBMC либо находится внутри ABMC, либо вообще не является четырёхугольником). Тогда
S_OBMC – S_ABMC = S_OBC + 2S_MBC – S_ABC.  Значит, геометрическим местом точек, для которых  S_OMBC = S_AMBC,  является серединный перпендикуляр к отрезку OA. Поэтому  AM = OM = 1.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования