Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M и N – середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P, Q – точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что  ∠QNM = ∠MNP.

Решение

Пусть прямая, проходящая через центр O данного прямоугольника параллельно BC, пересекает отрезок QN в точке K (см. рис.). Так как  MO || PC,  то
QM : MP = QO : OC,  а так как  KO || BC,  то QO : OC = QK : KN.  Следовательно,  QM : MP = QK : KN,  то есть  KM || NP.  Поэтому
∠MNP = ∠KMO = ∠QNM.

Источники и прецеденты использования