Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?

   Решение

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки E и F – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD, а отрезки CE и BF пересекаются в точке K. Точка M лежит на отрезке EC, причём  BM || KD.  Докажите, что площади треугольника KFD и трапеции KBMD равны.

Решение

  Пусть прямая, проведённая через вершину D параллельно EC, пересекает прямую AB в точке N, а прямые DN и BF пересекаются в точке P. Тогда
EN = CD = AB = 2BE  ⇒  BK : KP = BE : EN = 1 : 2.
  Треугольник BKM подобен треугольнику KPD с коэффициентом  ^BK/_KP = ½,  а треугольник FPD – треугольнику BKC с коэффициентом  ^FD/_BC = ½,  значит,
FP = ½ BK = ¼ KP,  то есть  FP = ⅓ KF.  Поэтому  S_KFD = ¾ S_KPD = 3S_BKM.
  С другой стороны, диагональ KD делит трапецию KBMD на треугольники, площади которых относятся как её основания, поэтому и  S_KBDM = 3S_BKM.

Источники и прецеденты использования