Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m^2+n$ и $n^2+m$ одновременно являются квадратами?

   Решение

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед,

Решение

Докажем сначала, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть ABCD – тетраэдр, в котором грани – равные разносторонние треугольники со сторонами a , b и c . Причём AB=c , AC=b и BC=a . Тогда CD=c , т.к. в противном случае либо треугольник ABD , либо BDC был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично, BD=AC=b и AD=BC = a . Если грани – равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно. Перейдём к нашей задаче. У полученного параллелепипеда каждая грань – параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник. Следовательно, параллелепипед – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования