Версия для печати
Убрать все задачи

---

Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AA1 — высота остроугольного треугольника ABC , H — точка пересечения высот, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите OH , если известно, что AH=3 , A1H=2 , а радиус окружности равен 4.

Решение

Пусть P — точка пересечения описанной окружности треугольника ABC с лучом AA1 , R=4 — радиус окружности. Точка, симметричная точке пересечения высот треугольника относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности, поэтому HP=2HA1=4 . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

AH· HP=(R-OH)(R+OH), 3· 4 = R2-OH2, 12 = 16-OH2,
откуда OH2= 4 . Следовательно, OH=2 .

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования