Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Подсказка

Докажите, что девять самых лёгких гирек – бронзовые, а девять самых тяжёлых – железные.

Решение

Разность между общим весом девяти самых тяжёлых гирь и общим весом девяти самых лёгких равна  (19 + 18 + ... + 11) – (9 + 8 + ... + 1) = 90 г.  Поэтому железные гири – самые тяжёлые, а бронзовые – самые лёгкие (иначе разность между общим весом железных гирь и общим весом бронзовых была бы меньше). Значит, золотая гирька весит 10 г.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования