Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.
РешениеЧисла a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов x² + ax + b и x² + bx + a имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Решение
|
|
 |
Условие
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?
Решение
Рассмотрим 50 горизонтальных прямых, расположенных на расстоянии 4 м друг от друга, причём верхняя из прямых проводится на 4 м ниже исходного положения волка. Поместим на каждую прямую по овце, которая будет двигаться по этой прямой. Овца делает ход на 1 м "от волка", если волк находится на расстоянии меньше 2 м от её прямой (если волк находится "далеко" от всех прямых, ходит самая верхняя овца). Если волк пытается приблизиться к прямой некоторой овцы, то его проекция на эту прямую "отстаёт" от положения овцы, и он не сможет её догнать.
Ответ
Неверно.
Замечания
1. Старшим классам задача предлагалась для произвольного количества овец.
2. Баллы: 7-8 кл. – 16, 9-10 кл. – 10.
