Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит девять пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит девять пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка?

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

Решение

AI и CI – биссектрисы углов A и C. Пусть прямые AI и CK пересекаются в точке X, а прямые CI и AL – в точке Y. Поскольку треугольник KAC – равнобедренный  (AC = AK  по условию задачи), то его биссектриса AX является высотой. Значит, AX – высота треугольника AMC. Аналогично CY – высота этого треугольника. Итак, I – точка пересечения высот треугольника AMC. Следовательно,  MI ⊥ AC.

Источники и прецеденты использования