Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер – нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность  В = К – Н  считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что
  1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок;
  2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше B, как бы тот ни играл.

   Решение

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

Решение

. Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и AC. Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром PC. Так как  sin A₁CB₁ = sin ACB, хорды A₁B₁ этой окружности имеют фиксированную длину. Следовательно, прямые A₁B₁ касаются фиксированной окружности.

Источники и прецеденты использования