Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

   Решение

Темы:    [ Построение сечений ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Ребро BD пирамиды ABCD перпендикулярно плоскости ADC . Докажите, что сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины рёбер AB и BC , является треугольник, подобный треугольнику ABC . Чему равен коэффициент подобия?

Решение

Пусть M и N – середины рёбер AB и BC соответственно. Тогда MN – средняя линия треугольника ABC . Поэтому MN = AC . Прямая BD перпендикулярна плоскости ACD , поэтому треугольники ABD и CBD – прямоугольные. Их медианы DM и DN , проведённые из вершин прямых углов, равны половинам гипотенуз, т.е. DM = AB и DN = BC . Следовательно, треугольник MDN подобен треугольнику ABC с коэффициентом .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования