Окружность S₁ касается сторон AC и AB треугольника ABC, окружность S₂ касается сторон BC и AB, кроме того, S₁ и S₂ касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности S.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок AA₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A₁C₁ и A₁B₁ пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B₁QC₁.

Решение

∠A₁B₁Q = ∠BA₁A = ∠A₁AR = ∠QAR.   Значит, четырёхугольник ARB₁Q – вписанный. Аналогично вписанным является и четырёхугольник PAQC₁. Следовательно,  ∠PQR = ∠PQA + ∠RQA = ∠PC₁A + ∠RB₁A = ∠A₁C₁B + ∠A₁B₁C = ∠A₁QC₁ + ∠A₁QB₁ = ∠B₁QC₁.

Источники и прецеденты использования