Версия для печати
Убрать все задачи

---

Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.

Решение

Первый способ. Проведём через точку $B$ прямую, параллельную $AC$ до пересечения с биссектрисой угла $C$ в точке $N$ (см. рис.). Так как $\angle BNC = \angle ACN = \angle BCN$, то треугольник $BCN$ – равнобедренный и $BM$ – его медиана. Следовательно, $S_{AMC} = \frac12 S_{ANC} = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$

Второй способ. Так как $S_{AMC} = \frac12 AC \cdot CM \sin \angle \frac{C}2$ и $CM = BC \cos \angle \frac{C}2$, то $$S_{AMC} = \frac14 AC \cdot BC \sin \angle C = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$$

Третий способ. Продлим $BM$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $D$. Заметим, что в треугольнике $BCD$ биссектриса $CM$ также является высотой, а значит, и медианой, то есть $BM = MD$. Но тогда $S_{ADM} = S_{AMB}$ и $S_{CDM} = S_{CMB}$, откуда $$S_{AMC} = \frac12 S_{ADB} + \frac12 S_{CDB} = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$$

Источники и прецеденты использования