С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n₀, что любой допустимый четырехугольник после n=n₀ операций становится равным исходному?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие двузначные числа  ab,  cd,  что  ab·cd = abcd.

Решение

Допустим, что равенство верно, и преобразуем его:   ab·cd = abcd = ab·100 + cd > ab·cd + cd.  Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования