Информация о задаче

Задача 102212

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l, $\angle$ BCK = $\alpha$ , $\angle$ CBL = $\beta$ .

Подсказка

Если R — радиус окружности, то R = ${\frac{BK}{2\sin \angle BCK}}$ = ${\frac{CL}{2\sin \angle CBL}}$ . Далее AK^.AB = AL^.AC.

Решение

Пусть R — радиус окружности. Обозначим AK = KB = x. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{BK}{2\sin \angle BCK}}$ = $\displaystyle {\frac{CL}{2\sin \angle CBL}}$ ,

или ${\frac{x}{2\sin \alpha}}$ = ${\frac{CL}{2\sin \beta}}$ , откуда находим, что CL = ${\frac{x\sin \beta}{\sin \alpha}}$ . По следствию из теоремы о касательной и секущей AK^.AB = AL^.AC, или 2x² = l $\left(\vphantom{l+ \frac{x\sin \beta}{\sin \alpha}}\right.$ l + ${\frac{x\sin \beta}{\sin \alpha}}$ $\left.\vphantom{l+ \frac{x\sin \beta}{\sin \alpha}}\right)$ , или

2x² - $\displaystyle {\frac{xl\sin \beta}{\sin \alpha}}$ - l² = 0.

Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого квадратного уравнения:

x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l\sin \beta}{\sin \alpha}+\sqrt{\frac{l^{2}\sin^{2} \beta}{ \sin^{2} \alpha}+ 8l^{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{l\sin \beta}{\sin \alpha}}$ + $\displaystyle \sqrt{\frac{l^{2}\sin^{2} \beta}{ \sin^{2} \alpha}+ 8l^{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l\sin \beta}{\sin \alpha}+\sqrt{\frac{l^{2}\sin^{2} \beta}{ \sin^{2} \alpha}+ 8l^{2}}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{l}{4\sin \alpha}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right.$ sin $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right)$ .

Следовательно, AB = 2x = ${\frac{l}{2\sin \alpha}}$ $\left(\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right.$ sin $\beta$ + $\sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}$ $\left.\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right)$ .

Ответ

${\frac{l}{2\sin \alpha}}$ $\left(\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right.$ sin $\beta$ + $\sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}$ $\left.\vphantom{\sin \beta + \sqrt{8\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3651