Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше k.

Решение

Предположим, что сумма длин хорд не меньше k, и докажем, что тогда найдется диаметр, пересекающий по крайней мере k + 1 хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными хордами, больше k. Если мы к этим дугам добавим еще и дуги, симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин всех рассматриваемых дуг будет больше 2k. Поэтому найдется точка, которую покрывает по крайней мере k + 1 из этих дуг. Диаметр, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере k + 1 хорду.

Замечания

Источники и прецеденты использования