Обязательно ли среди двадцати пяти "медных" монет (т.е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

   Решение

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство  2E ≥ 3F.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.

Решение

Предположим, что вершины B и C равностороннего треугольника ABC лежат на данных окружностях S1 и S2 соответственно, а вершина A совпадает с данной точкой, лежащей вне окружностей. При повороте на угол 60^o вокруг точки A , переводящем вершину B в вершину C , центр O1 окружности S1 перейдёт в точку O1' , окружность S1 — в окружность S1' с центром O1' , проходящую через точку C .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ O1' центра O1 данной окружности S1 при повороте вокруг данной точки A на угол 60^o или -60^o . Если при этом повороте образ окружности S1 пересекает вторую данную окружность S2 , то каждая точка C пересечения является второй вершиной искомого равностороннего треугольника. Тогда вершина B — образ точки C при повороте вокруг точки A в противоположном направлении.

Источники и прецеденты использования