Версия для печати
Убрать все задачи

---

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

   Решение

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

Решение

AC + BD < AB + CD  (см. задачу 55162). Это означает, что на каждом шаге сумма длин имеющихся отрезков уменьшается. В то же время, всевозможных систем отрезков указанного вида конечное число (так как число точек конечно). Значит, сумма длин отрезков не может уменьшаться бесконечно долго.

Ответ

Не может.

Замечания

1. 6 баллов.

2. См. также задачу М927 а) из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования