Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P, CH – высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.

   Решение

Дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. Найдите на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Признаки подобия ] [ Точка Торричелли ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.

Решение

  Из условия следует, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120°  (см. рисунок).

  Из треугольника АВD:  ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°,  значит,  ∠DAB = ∠DBС.  Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому
AD : BD = BD : CD,  то есть  AD·CD = BD² = a².  Значит,  S_ADC = AD·CD·sin 120°  – величина постоянная.
  Таким образом, площадь треугольника АВС будет наименьшей, если будет наименьшей сумма площадей треугольников ADB и BDC. Но
S_ADB + S_BDC = ½ a(AD + CD) sin 120°,  а сумма  AD + CD  минимальна, когда треугольник ADC равнобедренный (см. задачу 32883 б).
  В этом случае, очевидно, треугольник АВС равносторонний и  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования