Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

   Решение

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

   Решение

У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке B, S₂ — в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через точку A.

Подсказка

Докажите, что D = 180^o - O₁AO₂.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Тогда

D = 180^o - (DBA + DCA) = 180^o - =

= 180^o - =

= BAO₁ + CAO₂ = 180^o - O₁AO₂.

Источники и прецеденты использования