Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?
РешениеНайти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Решение
|
|
 |
Условие
У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?
Решение
Обозначим место обитания племени Мумбо-Юмбо через O, хранилище, к которому побежал Мумбо, через M, а хранилище, к которому пошел Юмбо, через U. Очевидно, что M находится выше по течению, чем O, а U ниже. Пусть расстояния от O до M и U равны x и y км соответственно
(x < y), скорость реки равна v км/ч. На путь от O до U Юмбо затратил y/6 часов, а Мумбо – x/11 + x+y/v часов. Поскольку Юмбо попал в U раньше Мумбо, то y/6 < x/11 + x+y/v < y/11 + 2y/v. Сократив на y и преобразовав, получаем v < 26,4.
Ответ
26 км/ч.
