В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

Решение

а) Если точка A₁ пройдет по окружности дугу величиной 2, то точка B₁ тоже пройдет дугу величиной 2, а значит, прямые AA₁ и BB₁ повернутся на угол  и угол между ними не изменится. Поэтому точка M перемещается по окружности, содержащей точки A и B.
б) Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ в некоторый момент пересекаются в точке P. Тогда, например, точка пересечения прямых AA₁ и BB₁ перемещается по описанной окружности треугольника ABP. Ясно также, что описанные окружности треугольников ABP, BCP и CAP имеют единственную общую точку P.

Источники и прецеденты использования