В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать куда-то и спросить сидящих: "Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?" После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя. Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.)

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круге проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M; K – точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой BD.
Найдите отрезки BK и KD, если  BD = 3,  а площади треугольников CMB и AMD относятся как  1 : 4.

Подсказка

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.

Решение

  Треугольники BMC и DMA подобны  (∠MCB = ∠DCB = ∠DAB = ∠DAM).  Поскольку площади этих треугольников относятся как  1 : 4,  то коэффициент подобия равен ½. Поэтому  DM = 2BM.
  Поскольку MK – биссектриса треугольника BMD, то  DK : KB = DM : BM = 2.  Следовательно,  DK = ²/₃ BD = 2,  BK = ¹/₃ BD = 1.

Ответ

1 и 2.

Источники и прецеденты использования