Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

   Решение

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда  4PB ^. CQ = BC².

Решение

Пусть D, E и F — точки касания окружности с BP, PQ и QC;  BOD = 90^o - B = 90^o - C = COF = ,  DOP = POE = и  EOQ = QOF = . Тогда  180^o = BOC = 2 + 2 + 2, т. е.  + + = 90^o. Так как  BPO = DPE/2 = (180^o - DOE)/2 = 90^o - и  QOC = + = 90^o - , то  BPO = COQ. Ясно также, что  PBO = OCQ. Поэтому  BPO COQ, т. е.  PB ^. CQ = BO ^. CO = BC²/4.

Источники и прецеденты использования