Условие
Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности.
Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC
и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).
Решение
Обозначим точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF,
CD и FA через P, Q, R соответственно, а точку пересечения
прямых PQ и CD — через R'. Нам надо доказать, что точки R
и R' совпадают. Пусть G — точка пересечения AB и CD.
Рассмотрим композицию проецирований прямой CD на данную окружность из
точки A, а затем — окружности на прямую BC из точки E. Согласно
задаче 30.9 это отображение проективно. Легко видеть, что его
композиция с проецированием BC на CD из точки P оставляет на
месте точки C, D и G, а точку R переводит в R'. Но согласно
задаче 30.5 проективное преобразование с тремя неподвижными
точками тождественно. Следовательно, R' = R.
Источники и прецеденты использования
