Условие
Даны прямая l, окружность и точки M, N, лежащие
на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим
отображение P прямой l на себя, являющееся композицией
проектирования прямой l на данную окружность из точки M
и проектирования окружности на прямую l из точки N.
(Если точка X лежит на прямой l, то P(X) есть пересечение
прямой NY с прямой l, где Y — отличная от M точка
пересечения прямой MX с данной окружностью.) Докажите,
что преобразование P проективно.
Решение
Согласно задаче 30.6 нам достаточно доказать, что преобразование P
сохраняет двойное отношение четверки точек. Пусть A, B, C, D — произвольные точки прямой l. Обозначим через A', B',
C', D' их образы при преобразовании P, а через a, b, c,
d и a', b', c', d' — прямые MA, MB, MC, MD
и NA', NB', NC', ND' соответственно. Тогда согласно задаче 30.2, a)
(ABCD) = (abcd ) и
(A'B'C'D') = (a'b'c'd'), а по теореме
о вписанном угле
(a, c) = (a', c'),
(b, c) = (b', c') и т. д., а значит,
(abcd )= (a'b'c'd').
Источники и прецеденты использования
