Условие
Даны прямая
l, окружность и точки
M,
N, лежащие
на окружности и не лежащие на прямой
l. Рассмотрим
отображение
P прямой
l на себя, являющееся композицией
проектирования прямой
l на данную окружность из точки
M
и проектирования окружности на прямую
l из точки
N.
(Если точка
X лежит на прямой
l, то
P(
X) есть пересечение
прямой
NY с прямой
l, где
Y — отличная от
M точка
пересечения прямой
MX с данной окружностью.) Докажите,
что преобразование
P проективно.
Решение
Согласно задаче
30.6 нам достаточно доказать, что преобразование
P
сохраняет двойное отношение четверки точек. Пусть
A,
B,
C,
D — произвольные точки прямой
l. Обозначим через
A',
B',
C',
D' их образы при преобразовании
P, а через
a,
b,
c,
d и
a',
b',
c',
d' — прямые
MA,
MB,
MC,
MD
и
NA',
NB',
NC',
ND' соответственно. Тогда согласно задаче
30.2, a)
(
ABCD) = (
abcd ) и
(
A'B'C'D') = (
a'b'c'd'), а по теореме
о вписанном угле
(
a,
c) =
(
a',
c'),
(
b,
c) =
(
b',
c') и т. д., а значит,
(
abcd )= (
a'b'c'd').
Источники и прецеденты использования
