Информация о задаче

Задача 53709

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что четыре точки пересечения окружностей, построенных на сторонах вписанного четырёхугольника как на хордах, и отличные от вершин этого четырёхугольника, лежат на одной окружности.

Подсказка

Выразите противоположные углы полученного четырёхугольника через углы данного.

Решение

Пусть окружности, построенные на сторонах AB, BC, CD и AD вписанного четырёхугольника ABCD как на хордах, пересекаются последовательно в точках K, L, M и N, лежащих внутри этого четырёхугольника и отличных от его вершин. Обозначим

$\displaystyle \angle$ BAN = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DAN = $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ , $\displaystyle \angle$ BCL = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ DCL = $\displaystyle \beta_{1}^{}$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ NKL = 360^o - $\displaystyle \angle$ BKN - $\displaystyle \angle$ BKL = 360^o - (180^o - $\displaystyle \alpha$ ) - (180^o - $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ,

$\displaystyle \angle$ NML = 360^o - $\displaystyle \angle$ DMN - $\displaystyle \angle$ DML = 360^o - (180^o - $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ ) - (180^o - $\displaystyle \beta_{1}^{}$ ) = $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ ,

поэтому

$\displaystyle \angle$ NKL + $\displaystyle \angle$ NML = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ =

= ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ ) + ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ ) = $\displaystyle \angle$ BAD + $\displaystyle \angle$ BCD = 180^o.

Следовательно, около четырёхугольника KLMN можно описать окружность.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1443