Информация о задаче

Задача 57609

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что a(b + c) = (r + r_a)(4R + r - r_a) и a(b - c) = (r_b - r_c)(4R - r_b - r_c).

Решение

Пусть углы треугольника ABC равны 2 $\alpha$ , 2 $\beta$ и 2 $\gamma$ . Согласно задачам 12.36, а) и 12.37, б) r = 4R sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ и r_a = 4R sin $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ . Поэтому (r + r_a)(4R + r - r_a) = 16R²sin $\alpha$ (sin $\beta$ sin $\gamma$ + cos $\beta$ cos $\gamma$ )(1 + sin $\alpha$ (sin $\beta$ sin $\gamma$ - cos $\beta$ cos $\gamma$ )) = 16R²sin $\alpha$ cos( $\beta$ - $\gamma$ )(1 - sin $\alpha$ cos( $\beta$ + $\gamma$ )) = 16R²sin $\alpha$ cos( $\beta$ - $\gamma$ )cos² $\alpha$ . Остается заметить, что 4R sin $\alpha$ cos $\alpha$ = a и 4R sin( $\beta$ + $\gamma$ )cos( $\beta$ - $\gamma$ ) = 2R(sin 2 $\beta$ + sin 2 $\gamma$ ) = b + c. Второе равенство доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	3
Название	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер	12.027