Информация о задаче

Задача 53700

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Отношения площадей подобных фигур	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Пусть AD, BE и CF - высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что треугольник AEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом cos $\angle$ A; выразите углы треугольника ABC через углы прямоугольного треугольника DEF.

Решение

Пусть AD, BE и CF - высоты остроугольного треугольника ABC; DF = 8, EF = 15, DE = 17. Поскольку 8² + 15² = 17², треугольник DEF - прямоугольный, $\angle$ DFE = 90^o.

Обозначим через $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ соответственно углы A, B и C треугольника ABC. Поскольку сторона AC видна из точек F и D под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром AC, значит,

$\displaystyle \angle$ BDF = 180^o - $\displaystyle \angle$ CDF = $\displaystyle \angle$ CAF = $\displaystyle \alpha$ ,

и треугольник BDF подобен треугольнику BAC (по двум углам) с коэффициентом BD/AB = cos $\angle$ ABD = cos $\beta$ .

Аналогично докажем, что

$\displaystyle \angle$ CDE = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CED = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ AEF = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ AFE = $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \angle$ BFD = $\displaystyle \gamma$ ,

треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом cos $\gamma$ , а треугольник AEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом cos $\alpha$ .

Пусть площадь треугольника ABC равна S. Тогда площади треугольников AEF, BDF и CDE соответственно равны S^.cos² $\alpha$ , S^.cos² $\beta$ и S^.cos² $\gamma$ . Площадь прямоугольного треугольника DEF равна 8^.15/2 = = 60. Имеем уравнение

S = S^.cos² $\displaystyle \alpha$ + S^.cos² $\displaystyle \beta$ + S^.cos² $\displaystyle \gamma$ + 60,

откуда

S = 60/(1 - cos² $\displaystyle \alpha$ - cos² $\displaystyle \beta$ - cos² $\displaystyle \gamma$ ).

Из прямоугольного треугольника DEF находим, что

cos $\displaystyle \angle$ EDF = DF/DE = 8/17, cos $\displaystyle \angle$ DEF = EF/DE = 15/17, cos $\displaystyle \angle$ DFE = 0.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ EDF = 180^o - $\displaystyle \angle$ BDF - $\displaystyle \angle$ CDE = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ DEF = 180^o - $\displaystyle \angle$ DEC - $\displaystyle \angle$ AEF = 180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ,

$\displaystyle \angle$ DFE = 180^o - $\displaystyle \angle$ AFE - $\displaystyle \angle$ BFD = 180^o - 2 $\displaystyle \gamma$ ,

то

8/17 = cos $\displaystyle \angle$ EDF = cos(180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = - cos 2 $\displaystyle \alpha$ ,

15/17 = cos $\displaystyle \angle$ DEF = cos(180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ) = - cos 2 $\displaystyle \beta$ ,

0 = cos $\displaystyle \angle$ DFE = cos(180^o - 2 $\displaystyle \gamma$ ) = - cos 2 $\displaystyle \gamma$ .

Отсюда находим, что

cos² $\displaystyle \alpha$ = (1 + cos 2 $\displaystyle \alpha$ )/2 = (1 - 8/17)/2 = 9/34,

cos² $\displaystyle \beta$ = (1 + cos 2 $\displaystyle \beta$ )/2 = (1 - 15/17)/2 = 2/34,

cos² $\displaystyle \gamma$ = (1 + cos 2 $\displaystyle \gamma$ )/2 = (1 - 0)/2 = 1/2.

Следовательно,

S = 60/(1 - 9/34 - 2/34 - 1/2) = 340.

Ответ

340.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1434