На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

   Решение

Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке O. Докажите, что отрезки, соединяющие точку O с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром O, причём  CM : MD = 1 : 2.
Найдите стороны треугольника AOM, если сторона квадрата равна 6.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центра квадрата на стороны CD и AD.

Решение

  Пусть K – проекция точки O на сторону CD квадрата ABCD. Тогда K – середина CD. Из прямоугольных треугольников OMK и AMD находим, что
OM² = OK² + KM² = 10,  AM² = AD² + DM² = 52.

Ответ

3,  2,  .

Источники и прецеденты использования