Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.

Решение

Так как четырехугольник $BCPH_C$ вписанный, то $\angle CPH_C=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-\angle AHH_C$, где $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Поэтому четырехугольник $HQPH_C$ вписанный, т.е. $\angle CQH=\angle HH_CP$. Но $\angle HH_CP=\angle H_CRP$, поскольку $H_CP$ – высота прямоугольного треугольника $H_CRX$. Таким образом, точки $A$, $R$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности. Кроме того, из вписанности четырехугольника $H_CPH_BC$ получаем, что $\angle PH_BA=\angle PH_CC=\angle PRB$, следовательно, $H_B$ лежит на той же окружности.

Источники и прецеденты использования