Версия для печати
Убрать все задачи

---

Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков,
  а) 962;   б) 960;   в) 958 квадратных единиц материала?

   Решение

---

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c + ¹/_d = ¹/_abcd.

   Решение

---

В квадрате 6×6 отмечают несколько клеток так, что из любой отмеченной можно пройти в любую другую отмеченную, переходя только через общие стороны отмеченных клеток. Отмеченную клетку называют концевой, если она граничит по стороне ровно с одной отмеченной. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилось   а) 10,  б) 11,  в) 12 концевых клеток.

   Решение

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

Решение

   Обозначим проекцию прямой l через B, крайние точки проекции многоугольника – через A и C. Пусть C₁ – точка многоугольника, проецирующаяся в точку C; прямая l пересекает многоугольник в точках K и L, а K₁ и L₁ – точки прямых C₁K и C₁L, проецирующиеся в точку A (см. рисунок).

   Одна из частей, на которые прямая l делит многоугольник, содержится в трапеции K₁KLL₁, другая содержит треугольник C₁KL. Поэтому  S_K1KLL1 ≥ S_C1KL,  то есть  AB·(KL + K₁L₁) ≥ BC·KL.  Так как  K₁L₁ : KL = (AB + BC) : BC,  то     Решая это квадратное неравенство, получаем  
   Аналогично  

Источники и прецеденты использования