Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Подерный (педальный) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим  A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим  A₂B₂C₂, а затем  A₃B₃C₃. Докажите, что  A₃B₃C₃ ABC.

Решение

Ясно, что  C₁AP = C₁B₁P = A₂B₁P = A₂C₂P = B₃C₂P = B₃A₃P (первое, третье и пятое равенства получаются из вписанности соответствующих четырехугольников; остальные равенства очевидны). Аналогично  B₁AP = C₃A₃P. Поэтому  B₃A₃C₃ = B₃A₃P + C₃A₃P = C₁AP + B₁AP = BAC. Аналогично получаются равенства остальных углов треугольников ABC и A₃B₃C₃.

Источники и прецеденты использования