Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которой  AB = BD.  Пусть M – середина стороны DС. Докажите, что  ∠MBC = ∠BCA.

   Решение

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P₁(x), P₂(x) и P₃(x). Докажите, что уравнение  |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)|  имеет не более восьми корней.

   Решение

Тема:    [ Композиции симметрий ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого параллельны заданным n прямым.
б) Через центр O окружности проведено n прямых. Постройте описанный около окружности n-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.

Решение

а) Предположим, что многоугольник A₁A₂...A_n построен. Проведем через центр O окружности серединные перпендикуляры l₁, l₂,..., l_n к хордам A₁A₂, A₂A₃,..., A_nA₁ соответственно. Прямые l₁,..., l_n известны, так как они проходят через точку O и перпендикулярны данным прямым. Кроме того, A₂ = S_l1(A₁), A₃ = S_l2(A₂),..., A₁ = S_ln(A_n), т. е. точка A₁ является неподвижной точкой композиции симметрий S_lno...oS_l1. При нечетном n на окружности неподвижных точек ровно две; при четном n либо неподвижных точек нет, либо все точки неподвижны.
б) Предположим, что искомый многоугольник A₁...A_n построен. Рассмотрим многоугольник B₁...B_n, образованный точками касания описанного многоугольника с окружностью. Стороны многоугольника B₁...B_n перпендикулярны данным прямым, т. е. имеют заданные направления, поэтому его можно построить (см. задачу а)); остается провести касательные к окружности в точках B₁,..., B_n.

Источники и прецеденты использования