Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

   Решение

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

   Решение

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD известно, что  AB = a,  BC = b  (a ≠ b).  Определите, что пересекает биссектриса угла A: основание BC или боковую сторону CD?

Подсказка

Если M – точка пересечения биссектрисы угла A с прямой BC, то треугольник ABM – равнобедренный.

Решение

  Пусть M – точка пересечения биссектрисы угла A с прямой BC. Поскольку  ∠BMA = ∠MAD = ∠BAM,  то треугольник AMB – равнобедренный,
BM = AB = a.
  Если  a > b,  то точка C лежит между точками B и M, поэтому биссектриса AM пересекает боковую сторону CD (рис. слева).
  Если же  a < b,  то точка M лежит между точками B и C, поэтому биссектриса AM пересекает основание BC (рис. справа).

Ответ

Если  a > b,  то CD; если  a < b,  то BC.

Источники и прецеденты использования