Стоимость проездного билета на месяц составляет 640 руб. А стоимость билета на одну поездку 20 руб. Аня купила проездной и сделала за месяц 43 поездок. Сколько рублей она сэкономила?

   Решение

В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?

   Решение

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P, Q, R, S, T — точки пересечения окружностей S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, о которых говорится в условии (см. рис.). Докажем, например, что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности. Проведем окружность , описанную около треугольника NKD. Применяя результат задачи 2.83, а) (совпадающей с 19.45) к четырехугольникам AKDE и BNDC, получаем, что окружности S₄, S₅ и  пересекаются в одной точке (в точке P) и окружности S₂, S₃, тоже пересекаются в одной точке (в точке S). Следовательно, окружность  проходит через точки P и S. Заметим теперь, что из восьми точек пересечения окружностей , S₁, S₂, S₅ четыре, а именно N, A, B, K лежат на одной прямой. Следовательно, согласно задаче 28.31 оставшиеся четыре точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования