По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.
  a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?   б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

   Решение

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Решение

Введем следующие обозначения: a = , b = ; Ra и  Rb — векторы, полученные из векторов  a и  b поворотом на 90^o: Ra = , Rb = ; O₁, O₂, O₃ и O₄ — середины отрезков AM, MQ, QC и CA соответственно. Тогда = (a + Ra)/2, = (a + Rb)/2, = (b + Rb)/2, = (b + Ra)/2. Поэтому = (Rb - Ra)/2 = - и  = (b - a)/2 = - . Кроме того, = R().

Источники и прецеденты использования