Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

   Решение

Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Обозначим точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA через P, Q, R соответственно, а точку пересечения прямых PQ и CD — через R'. Нам надо доказать, что точки R и R' совпадают. Пусть G — точка пересечения AB и CD. Рассмотрим композицию проецирований прямой CD на данную окружность из точки A, а затем — окружности на прямую BC из точки E. Согласно задаче 30.9 это отображение проективно. Легко видеть, что его композиция с проецированием BC на CD из точки P оставляет на месте точки C, D и G, а точку R переводит в R'. Но согласно задаче 30.5 проективное преобразование с тремя неподвижными точками тождественно. Следовательно, R' = R.

Источники и прецеденты использования