Числа от 1 до 1000 расставлены по окружности.
Доказать, что их можно соединить 500 непересекающимися отрезками, разность чисел на концах которых (по модулю) не более 749.

   Решение

Решить систему
   x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 2x₅ = 1,
   x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 4x₄ + 4x₅ = 2,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ + 6x₅ = 3,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 7x₄ + 8x₅ = 4,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 7x₄ + 9x₅ = 5.

   Решение

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел ( x₁, x₂,..., x_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма a₁x₁ + ... + a_nx_n, где (a₁...a_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

   Решение

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем a + b + c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.

Решение

Предположим, что существует аффинное преобразование, переводящее векторы a, b, c в векторы a', b', c' равной длины. Из равенства a' + b' + c' = 0 следует, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник.
Предположим теперь, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник. Тогда a' + b' + c' = 0 для некоторых векторов a', b', c' единичной длины. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее векторы a и b в a' и b'. Из равенств a + b + c = 0 и a' + b' + c' = 0 следует, что рассматриваемое аффинное преобразование переводит вектор c в c' (предполагается, что 0).

Источники и прецеденты использования