В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A₁, B₁, C₁ середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A₂, B₂, C₂ — точки пересечения прямых AA₁ и BC, BB₁ и AC, CC₁ и AB. Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

Решение

Сделав проективное преобразование с исключительной прямой, параллельной l и проходящей через точку A, мы можем считать, что точка A бесконечно удаленная, т. е. прямые AB и AC параллельны. При этом согласно задаче 30.14, б) точки A₁, B₁, C₁ по-прежнему будут серединами соответствующих отрезков, так как эти отрезки лежат на прямой, параллельной исключительной. Два треугольника, образованные прямыми l, AB, BC и l, AC, BC, гомотетичны, следовательно, прямые BB₁ и CC₁, являющиеся медианами этих треугольников, параллельны. Таким образом, четырехугольник BB₂CC₂ является параллелограммом, поскольку у него параллельны противоположные стороны. Остается заметить, что точка A₂ лежит на середине диагонали BC этого параллелограмма, а значит, и на диагонали B₂C₂.

Источники и прецеденты использования