Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

   Решение

В каждой клетке квадрата  8×8  клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть
  а) больше 15?
  б) больше 20?

   Решение

Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25% стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей – 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?

   Решение

В колоде 36 карт, разложенных в таком порядке, что масти периодически чередуются в последовательности: пики, трефы, червы, бубны, пики, трефы, червы, бубны, и т. д. С колоды сняли часть, перевернули её как целое и врезали в оставшуюся. После этого карты снимают по четыре. Доказать, что в каждой четвёрке все масти разные.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

Решение 1

Продолжим отрезок MN на его длину в обе стороны и получим точки K и L (рис. слева). Так как M – общая середина отрезков AC и KN, то AKCN – параллелограмм. Значит,  ∠CKM = 45°,  ∠KCM = 15°.  Отметим на отрезке CM точку P так, чтобы угол CKP был равен 15°. Тогда отрезок KP разобьёт треугольник KCM на два равнобедренных треугольника. Кроме того,   ∠PMN = 60°,  поэтому треугольник MPN – равносторонний. Треугольники PLN и PKM равны, треугольник CPL – равнобедренный и прямоугольный, CLBM – параллелограмм, следовательно,  ∠ABM = ∠CLN = ∠CLP + ∠MLP = 75°.

               

Решение 2

Пусть G – точка пересечения медиан треугольника ABC, F – середина GB, треугольник GFO равносторонний, причём точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно MB (рис. справа). Тогда  ∠MOB = 120° = 2∠MAB,  значит, O – центр описанной окружности треугольника MAB. При этом  ∠MOG = 30° = 2∠MAG,  поэтому лучи AG и OG проходят через одну точку описанной окружности треугольника AMB. Отсюда следует, что точки A, O и G лежат на одной прямой. Значит,  ∠AMB = ∠MOA : 2 = 75°.

Ответ

75°.

Замечания

В решении 1 можно использовать тот факт, что построенная точка P – центр описанной окружности треугольника KCL.

Источники и прецеденты использования