Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

   Решение

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершины A и B треугольника ABC, пересекает отрезок BC в точке M и касается прямой AC в точке A. Найдите CM, зная, что  ∠ACO = α,  ∠MAB = β.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

По теореме о касательной и секущей  AC² = BC·CM = (BM + CM)CM.  Поскольку   BM = 2R sin β  и  AC = R ctg α,  то  R²ctg²α = CM² + CM·2R sin β.  Из этого уравнения находим, что  CM =

Ответ

Источники и прецеденты использования