Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)

   Решение

В Москве живет 2000 скалолазов, в Санкт-Петербурге и Красноярске — по 500, в Екатеринбурге — 200, а остальные 100 рассеяны по территории России. Где нужно устроить чемпионат России по скалолазанию, чтобы транспортные расходы участников были минимальны?

   Решение

Темы:    [ Пространственные многоугольники ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Решение

Пусть K, L, M, N – точки на сторонах AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD, являющиеся основаниями общих перпендикуляров. При проекции на плоскость, параллельную KM и LN, эти прямые перейдут в перпендикулярные прямые K'M' и L'N'. По теореме о трёх перпендикулярах проекции прямых AB и CD будут перпендикулярны K'M', а проекции прямых BC и AD перпендикулярны L'N'. Следовательно, четырёхугольник ABCD проецируется в прямоугольник A'B'C'D', причём  A'K' = D'M',  B'L' = A'N'.  Значит,  AK : KB = DM : MC,  BL : LC = AN : ND.  Пусть P и Q – соответственно точки пересечения KL и MN с AC. По теореме Менелая     Поэтому точки P и Q совпадают, откуда и следует, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Источники и прецеденты использования