Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

   Решение

В каждой клетке квадрата  8×8  клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть
  а) больше 15?
  б) больше 20?

   Решение

Что означают записи:   а) a ≡ b (mod 0);   б)  a ≡ b (mod 1)?

   Решение

Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

   Решение

Тема:    [ Симметриия и неравенства и экстремумы ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Решение

Пусть точка B' симметрична B относительно биссектрисы угла ACB. Тогда B'A₁ = BB₁, т. е. требуется проверить, что B'A₁ < AA₁. Для этого достаточно заметить, что AB'A₁ > AB'B > 90^o.

Источники и прецеденты использования