Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если = , то = .

   Решение

В треугольник ABC со сторонами  AB = 5,  BC = 7,  CA = 10  вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

   Решение

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE  ABC = ∠ADE  и ∠AEC = ∠ADB,  то  ∠BAC = ∠DAE.

   Решение

Докажите, что многочлен вида  x²⁰⁰y²⁰⁰ + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Известно, что  p > 3  и p – простое число.
  а) Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел  p + 1  и  p – 1  делиться на 4?
  б) А на 5?

Решение

а) Рассмотрим числа  p – 1, p,  p + 1,  p + 2.  Из четырёх последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p и не  p + 2  (оба эти числа нечётны). Значит, одно из чисел  p + 1  или  p – 1  будет делиться на 4.

б) Например, при  p = 13  оба эти числа на 5 не делятся.

Ответ

а) Будет;  б) не обязательно.

Источники и прецеденты использования